硬聚类（hard clustering）指的是数据集中每个样本只能划至一个簇的算法，例如我们在上一小节中讨论过的k-means算法。相反，软聚类（soft clustering，有时也称作模糊聚类（fuzzy clustering））算法可以将一个样本划分到一个或者多个簇。一个常见的软聚类算法是模糊C-means（fuzzy C-means，FCM）算法（也称为soft k-means或者fuzzy k-means）。关于软聚类的最初构想可以追溯到20世纪70年代，当时Joseph C.Dunn第一个提出了模糊聚类的早期版本，以提高k-means的性能[1]。10年之后，James C.Bedzek发表了他对模糊聚类算法进行改进的研究成果，即FCM算法[2]。
FCM的处理过程与k-means十分相似。但是，我们使用每个样本点隶属于各簇的概率来替代硬聚类的划分。在k-means中，我们使用二进制稀疏向量来表示各簇所含样本：
其中，位置索引的值为1表示样本属于簇中心μ（j）所在的簇（假定k＝3，则j∈{1,2,3}）。相反，FMC中的成员隶属向量可以表示如下：
这里，每个值都在区间[0,1]内，代表样本属于相应簇中心所在簇的概率。对于给定样本，其隶属于各簇的概率之和为1。与k-means算法类似，我们可以将FCM算法总结为四个核心步骤：
1）指定k个中心点，并随机将每个样本点划分至某个簇。
2）计算各簇中心μ（j）,j∈{1,…,k}。
3）更新各样本点所属簇的成员隶属度。
4）重复步骤2、3，直到各样本点所属簇成员隶属度不变，或是达到用户自定义的容差阈值或最大迭代次数。
可以将FCM的目标函数简写为Jm，它看起来与k-means中需要进行最小化计算的簇内误差平方和（within cluster sum-squared-error）很相似：
不过请注意：此处的成员隶属度w（i,j）不同于k-means算法中的二进制值（w（i,j）∈{0,1}），它是一个实数，表示样本隶属于某个簇的概率（w（i,j）∈[0,1]）。读者也许注意到了，我们在w（i,j）中增加了额外的一个指数m，一般情况下其取值范围是大于等于1的整数（通常m＝2），也称为模糊系数（fuzziness coefficient，或直接就叫模糊器（fuzzzifier）），用来控制模糊的程度。模糊聚类中，m的值越大则成员隶属度w（i,j）越小。样本点属于某个簇的概率计算公式如下：
如同前面的k-means例子，在此依旧使用3个簇中心，可通过以下方式计算出样本x（i）属于簇μ（j）的隶属度：
以样本属于特定簇的隶属度为权重，此簇中心μ（j）可以通过所有样本的加权均值计算得到：
仅就计算样本数据簇的隶属度公式来说，直观上看，FCM的单次迭代计算成本比k-means的要高，但是FCM通常只需较少的迭代次数便能收敛。遗憾的是，scikit-learn目前还未实现FCM算法。不过，正如Soumi Ghosh与Sanjay K.Dubey的研究[3]所述，实际应用中k-means和FCM算法通常会得到较为相似的结果。
[1] J. C. Dunn. A Fuzzy Relative of the Isodata Process and its Use in Detecting Compact Well-separated Clusters. 1973.
[2] J. C. Bezdek. Pattern Recognition with Fuzzy Objective Function Algorithms. Springer Science & Business Media, 2013.
[3] S. Ghosh and S. K. Dubey. Comparative Analysis of k-means and Fuzzy c-means Algorithms. IJACSA, 4:35-38, 2013.